Kolovoz 2011.
Čudesno zdrava i podrazumijevajuća neutemeljenost matematike
Zvonimir Šikić: FILOZOFIJA MATEMATIKE
Prije neki dan u caffe-baru moga punca zamijetio sam neobičnog gosta. Ušao je malo prije mene te se povukao u samo dno prostorije i sjeo za stol ispod palminog drveta povremeno pogledavajući oko sebe svojim izbezumljenim očima. Bio sam frustriran jer je sjeo na moje mjesto i nije mi preostalo ništa drugo nego da potražim stol bliže prozoru. I što sad? Misli su mi potpuno poremećene. Ne mogu s ničim započeti, a htio sam. Taj nezvani gost kao da je poremetio sve moje nakane. Učinilo bi mi se da se još onako bezobrazno smije kada bi pogledao u mene. Kad, evo ti punca:
- I opet ćeš ‘filozofirati’… – nonšalantno me priupita ne gledajući me ravno u oči.
- Tako je, danas ću filozofirati o matematici.
Nije mi ništa odgovorio.
- A ne bi li da ti ipak donesem neke novine? – pogledao me ravno u oči nakon što je s par energičnih pokreta krpom prebrisao moj stol.
- Ne bih. – odbrusim jetko – Pogledaj, i onaj gospodin tamo možda razmišlja, čak si je donio i neku knjigu. Učinit ćemo da tvoj caffe-bar postane ‘razmišljaonica’ za sve slobodne duhove, a ne hipodrom za razgovore o kladioničnim koeficijentima…
Punac se na to samo kiselo osmjehnu i udalji. No, vrijeme teče, idemo početi razmišljati, ne vrijedi gubiti vrijeme…
Prije svega, želio sam propitati kako znamo da matematika pogađa u svom opisu stvarnosti? Pogledao sam u nezvanog gosta, i on u mene, i započeo razmišljati. Oduvijek su me mučili ti križići, povlake, točke i crte koje se stavljaju između, više-manje, apstraktnih simbola dogovorenog značenja. Matematičari govore o operacijama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja prirodnih, kompleksnih, realnih i, kojih sve ne, brojeva. Međutim, a to se oduvijek pitao moj nematematički spekulativni um, kako im polazi za rukom, zapravo, zbrojiti različito? 2 i 3 su različiti entiteti ne bi li njihov zbroj dao 23 a ne 5. Ah ne, klikću matematičari. U pomoć im, pritom, priskače geometrija. Nacrta se lijepo ravna linija koja se podijeli na jednake dijelove. Kada se ti dijelovi započnu brojati, eto nam na sceni brojeva. Ali umjesto da brojimo „Jedan dio“, „opet jedan dio“, „opet jedan te isti dio“ u skladu s naukom o ‘vječnom vraćanju jednakog’ mi se stvaralački zaigramo i kažemo „jedan, dva, tri, krm, pvtu, liuf“ itd. Kasnije ćemo umjesto ‘krm’, ‘pvtu’ i ‘liuf’ staviti „četiri, pet i šest“… Odnos dijelova spram cjeline, dakle, utemeljuje brojeve, a odatle i matematiku u cjelini.
U 19. stoljeću će Georg Cantor, zbog problema beskonačne djeljivosti jednakih dijelova unutar sebe, biti prisiljen brojeve proglasiti skupovima te se od tog sretnog dana matematika zasniva na teoriji skupova. Kada malo bolje razmislim sve druge vrste brojeva nastaju postupkom dijeljenja osnovne „jednake veličine“, racionalni (razlomački i decimalni), realni (iskazuje odnos koji se ne može izraziti kao razlomak), kompleksni (koji obuhvaća realne i uvodi imaginarne brojeve) itd. Sva matematika se svodi na dijeljenje, usitnjavanje zbilje i na tom izvoru sama izvire.
Pa ipak, matematičari govore da rade s apstrakcijama. Podijeljena duljina o kojoj je riječ je apstraktna i ne može se pronaći u prirodi. To mi se već više dopada – matematika shvaćena kao čista umjetnost.
Matematika tako stoji na samoj litici znanstvene stijene s koje se pruža zastrašujući pogled na ponor beskonačnosti. Utemeljenja u djeljivosti, svejedno, zbilje ili apstrakcije, ona se zbog toga nužno mora gubiti u ponorima beskonačnosti.
Probali su pitagorejci pa odustali kada su otkrili nesumjerljiv odnos između stranice i dijagonale pravokutnog trokuta; probao je i Georg Cantor s teorijom skupova pa nakon spoznaje Russelovog paradoksa shvatio da do kraja nikada neće u tome uspjeti. Probao je i Gottlob Frege s logičkim utemeljivanjem matematike podržan Dedekindovom izjavom u kojoj on prirodu broja smatra neposrednim proizvodom čistih zakona mišljenja neovisnim o predodžbama ili intuicijama prostora i vremena. Ali kako piše Zvonimir Šikić u svojoj Filozofiji matematike logička definicija broja je zasnovana na svojevrsnim klasama pojmova (koje, pak, neodoljivo podsjećaju na skupove) te je ubrzo naišla na isti problem kao i teorija skupova:
Logicizam se povukao jer nije mogao logički zasnovati taj jedini preostali predmet matematike, hijerarhiju klasa. Pokušaj da se klase shvate “čisto logički”, kao sasvim proizvoljne ekstenzije, propao je suočivši se s paradoksalnim ekstenzijama poput Russellove klase svih klasa koje ne pripadaju same sebi. Ako takva klasa ne pripada sama sebi, onda ona, po svojoj definiciji, pripada sama sebi. Ako takva klasa pripada sama sebi onda ona, po svojoj definiciji, ne pripada sama sebi.
Preko svih tih odustajanja ipak se do dana današnjeg tiho prelazi kao preko smrti Boga. Nema veze, odmahuju rukama matematičari, kao da se ništa nije dogodilo i nastavljaju raditi. Ne znam koliko tisuća teorema se godišnje prijavljuje matematičkom uredu. A to je upravo karakteristika ovog vremena, opstati na nesigurnim temeljima. Taj točak što se njiše pod nama izgleda dovoljno stabilan; zbilju smo usitnili do neprepoznatljivosti, i zbog toga imamo posla, vječno imamo posla i potrebna nam je matematika.
Zamislite kao način života to usitnjavanje, primjećivati zbilju na tako šarolik način. Mitchell Feigenbaum, znanstvenik čiji doprinos se veže uz otkriće univerzalnosti teorije kaosa, tomu se usprotivio napisavši:
Ja bih zaista želio znati kako se opisuju oblaci. Ali reći da imamo jedan komadić s ovoliko gustoće i još jedan pokraj njega s onoliko gustoće – mislim da je pogrešno sakupljati toliko usitnjenih informacija. To sigurno nije način na koji ljudsko biće te stvari opaža, a nije ni viđenje umjetnika. Posao zapisivanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi nije nekako polučio pravi rezultat.
Tu smo! Jučer sam satima tupo gledao u te diferencijalne jednadžbe pokušavajući shvatiti ontologiju svih tih x-ova, y-ona, kvadrata i posebice tih razlomačkih crta. Što zapravo znači kad napišemo nešto iznad crte, a onda nešto ispod crte. Zašto to činimo?
Jedan od najpoznatijih primjera uporabe razlomačke crte odnosi se na poznatu fizikalnu formulu v=s/t. Shvatimo da je brzina (v) ovdje potpuno izvedena veličina, nešto što smo stvorili od odnosa prijeđenog puta (s) u točno određenom vremenu (t). Kasnije, kad kažemo tijelo se giba tom i tom brzinom zapravo izmišljamo jer koristimo pojam koji smo prethodno sami smislili. Kad bismo iznad svoje glave ugledali vanzemaljski brod ne bismo usmjerujući neki svoj uređaj prema njemu rekli: „Aha, ovaj brod se giba tom i tom brzinom, hajdemo vidjeti koliko će preći kilometara za jednu minutu“ već bismo na osnovu prijeđenog puta u danom vremenu tek izračunali njegovu brzinu…
Matematika je tako utemeljena na nečemu što nikako ne možemo pronaći u prirodi (npr. jednaku duljinu), ali se nadalje ponaša kao sama priroda te postaje raznovrsna – drugim riječima, započinje iz skromnih i neutemeljenih početnih uvjeta izvoditi svašta. Dočim, stvarnost nikad u prirodi neće ponoviti isti oblik ali će više-manje ponoviti svoje ponašanje, matematičkim jezikom, svoje funkcije. Stvarnost kao da jest funkcionalna u matematičkom žargonu. Možda se tu, onda, nalazi ta spona – u mogućnosti ponavljanja. Po prvi put, spreman sam objaviti svoju tezu: matematika utemeljena na neutemeljenosti nečeg jednakog (npr. jednake duljine) oponaša prirodu u daljnjem izvođenju te postaje raznovrsna na isti način kao što u temelju raznovrsna priroda u kojoj ništa nije isto sklona je pukom ponavljanju onog jednakog (svog ponašanja) (prema nauku o ‘vječnom vraćanju jednakog’) te pomalo sliči na matematiku. U tom malom preklapanju matematika i stvarnost se ipak podudaraju.
Gospodin ispod palminog drvetu učini mi se neobično veselim, kao da je i on stigao do istog zaključka. Gotovo sam bio spreman ustati se i prići mu, kadli se odnekud stvori punac i odnoseći ispred mene praznu šalicu nemarno dobaci:
- A vidim, čim ne skidaš pogleda, da ti se dopada ogledalo koje smo jučer postavili…
